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不等式的证明(三)

2005年2月12日 来源:网友提供 作者:未知 字体:[ ]
第四课时

教学目标

  1.掌握分析法证明不等式;

  2.理解分析法实质——执果索因;

  3.提高证明不等式证法灵活性.

教学重点  分析法

教学难点  分析法实质的理解

教学方法  启发引导式

教学活动

  (一)导入新课

  (教师活动教师提出问题,待学生回答和思考后点评.

  (学生活动)回答和思考教师提出的问题.

  [问题1]我们已经学习了哪几种不等式的证明方法?什么是比较法?什么是综合法?

  [问题 2]能否用比较法或综合法证明不等式:

  [点评]在证明不等式时,若用比较法或综合法难以下手时,可采用另一种证明方法:分析法.(板书课题)

  设计意图:复习已学证明不等式的方法.指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处,

激发学生学习新的证明不等式知识的积极性,导入本节课学习内容:用分析法证明不等式.

  (二)新课讲授

  【尝试探索、建立新知】

  (教师活动教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系,然后提出问题供学生研究,并点评.帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系.投影分析法证明不等式的概念.

  (学生活动)与教师一道分析综合法的逻辑关系,在教师启发、引导下尝试探索,构建新知.

  [讲解]综合法证明不等式的逻辑关系:以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论,逐步寻找它成立的必要条件,直到必要条件就是要证明的不等式.

  [问题1]我们能不能用同样的思考问题的方式,把要证明的不等式作为结论,逐步去寻找它成立的充分条件呢?

  [问题2]当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时,说明了什么呢?

  [问题3]说明要证明的不等式成立的理由是什么呢?

  [点评]从要证明的结论入手,逆求使它成立的充分条件,直到充分条件显然成立为止,从而得出要证明的结论成立.就是分析法的逻辑关系.

  [投影]分析法证明不等式的概念.(见课本)

  设计意图:对比综合法的逻辑关系,教师层层设置问题,激发学生积极思考、研究.建立新的知识;分析法证明不等式.培养学习创新意识.

  【例题示范、学会应用】

  (教师活动教师板书或投影例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会用分析法证明不等式,并点评用分析法证明不等式必须注意的问题.

  (学生活动)学生在教师引导下,研究问题,与教师一道完成问题的论证.

  例1 求证

  [分析]此题用比较法和综合法都很难入手,应考虑用分析法.

  证明:(见课本)

  [点评]证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.此例中,我们很难想到从“ ”入手,因此,在不等式的证明中,分析法占有重要的位置,我们常用分析法探索证明途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思维方法,事实上,有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上,分析法的优越性正体现在此.

  例2 已知: ,求证: (用分析法)请思考下列证法有没有错误?若有错误,错在何处?

  [投影]证法一:因为 ,所以 、去分母,化为 ,就是 .由已知 成立,所以求证的不等式成立.

  证法二:欲证 ,因为

            只需证

            即证

            即证

  因为 成立,所以 成立.

  (证法二正确,证法一错误.错误的原因是:虽然是从结论出发,但不是逐步逆战结论成立的充分条件,事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件,所以不符合分析法的逻辑原理,犯了逻辑上的错误.)

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